Thema 9 — Quantenphysik und Quantenoptik

Quantelung · Emission/Absorption · Photoeffekt · Doppelspalt · Dekohärenz & Schrödingers Katze · Aspelmeyer · Heisenberg · absoluter Nullpunkt · Laplace'scher Dämon

Kapitel

• 9.1 Quantelung der Energie
• 9.2 Emission, Absorption und Photoeffekt
• 9.2a Bohr'sches Atommodell und Wasserstoffspektrum
• 9.3 Doppelspaltexperiment
• 9.3a Schrödinger-Gleichung, de Broglie-Wellen und Born'sche Deutung
• 9.3b Tunneleffekt und Potentialtopf
• 9.4 Dekohärenz und Schrödingers Katze
• 9.5 Schwingende Spiegel — Markus Aspelmeyer (Uni Wien)
• 9.6 Heisenberg'sche Unschärferelation
• 9.7 Absoluter Nullpunkt
• 9.8 Laplace'scher Dämon
• 9.9 Quantenphilosophie
• 9.10 Drei Bereiche der Optik

Selfcheck

1. Was bedeutet Quantelung ($E=hf$)? Wer nahm Plancks Formel ernst, und mit welcher Folgerung?
2. Wie entstehen Linienspektren (Emission/Absorption)?
3. Warum versagt die Wellentheorie beim Photoeffekt (zwei Argumente)?
4. Schreibe die Photoeffekt-Gleichung auf. Wovon hängen Elektronenzahl bzw. -energie ab?
5. Was passiert beim Einzelphoton-Doppelspalt, und was beweist das gegen das reine Wellenbild?
6. Was ist die Wellenfunktion $|\psi {|}^2$, und was macht ein Welcher-Weg-Detektor?
7. Was ist Dekohärenz, und was veranschaulicht Schrödingers Katze?
8. Was erforscht Aspelmeyer, und warum ist der absolute Nullpunkt dabei wichtig?
9. Formuliere die Heisenberg'sche Unschärferelation. Warum ist sie kein Messfehler?
10. Was ist der Laplace'sche Dämon, und wodurch ist er widerlegt?
11. Rechenaufgabe: In einem Atom springt ein Elektron von $E_3=11,7$ eV auf $E_1=9,15$ eV zurück. Berechne Energie, Frequenz und Wellenlänge des emittierten Photons. Und zeige mit Zahlen: Warum löst rotes Licht keine Elektronen aus der Zinkplatte?
12. Beschreibe den Schulversuch zum Photoeffekt (Hallwachs). Warum entlädt sich eine positiv geladene Zinkplatte nicht? Was beweist die Glasplatte?
13. Wie folgt die Nullpunktsenergie aus der Unschärferelation? Was hat Aspelmeyers Spiegel mit der Gravitation zu tun?
14. Erkläre das Bohr'sche Atommodell (zwei Postulate) und die Hauptquantenzahl $n$. Welche Serie ist sichtbar, und warum ist Bohrs Modell trotz seiner Mängel bemerkenswert?
15. Rechenaufgabe: Berechne mit der Rydberg-Formel die Wellenlänge der $H_{\alpha }$-Linie ($n_2=3\to n_1=2$). Welche Farbe ergibt sich?
16. Wie lautet die de-Broglie-Wellenlänge, und welches Experiment hat Materiewellen bewiesen? Welche Rolle spielt die Schrödinger-Gleichung, und was besagt die Born'sche Deutung (inkl. Normierung)?
17. Was ist der Tunneleffekt (warum funktioniert er?), und nenne zwei Anwendungen. Wie erklärt der Potentialtopf die Quantelung der Energie?

§§ANTWORTEN

1. Energie wird nur in diskreten Portionen (Quanten) ausgetauscht: $E=h\cdot f$. Einstein nahm Plancks Formel ernst und folgerte 1905: Licht besteht aus Photonen der Energie $hf$. (§9.1)
2. Elektronen besetzen diskrete Energieniveaus; bei Absorption springt ein Elektron hoch, bei Emission zurück und sendet ein Photon mit $\mathrm{\Delta }E=h\cdot f$ aus. Diese Quantensprünge ergeben die elementtypischen Linienspektren. (§9.2)
3. Klassisch wäre die Energie $\propto A^2$, also müsste sehr helles rotes Licht Elektronen lösen — tut es nicht. Und bei schwachem UV gäbe es eine Einschwingzeit — tatsächlich treten Elektronen sofort aus. (§9.2)
4. $E_{\gamma }=h\cdot f=E_{\text{kin}}+E_A$. Die Zahl der Elektronen hängt von der Intensität (Photonenzahl) ab, die kinetische Energie eines Elektrons aber nur von der Frequenz $f$. (§9.2)
5. Einzelne Photonen treffen als Punkte auf; nach vielen entsteht das Interferenzmuster. Das Photon nimmt beide Wege (Superposition) und interferiert mit sich selbst — ein einzelnes trifft trotzdem nur an einem Ort, was das reine Wellenbild widerlegt. (§9.3)
6. $|\psi {|}^2$ ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit am Auftreffort ($\psi$ ist komplex → Betragsquadrat). Ein Welcher-Weg-Detektor lässt das Interferenzmuster verschwinden — die Wellenfunktion kollabiert (Dekohärenz). (§9.3)
7. Dekohärenz = Zerfall der Wellenfunktion auf einen Zustand bei Messung (je mehr Teilchen, desto schneller). Schrödingers Katze veranschaulicht die Absurdität, Quanten-Superposition (tot+lebendig) auf den Makrokosmos zu übertragen. (§9.4)
8. Aspelmeyer erforscht makroskopische Quantenoptomechanik: ein winziger Spiegel in Superposition. Der absolute Nullpunkt (Quantengrundzustand) ist nötig, um die Quanteneffekte am makroskopischen Objekt überhaupt sichtbar zu machen. (§9.5)
9. $\mathrm{\Delta }x\cdot \mathrm{\Delta }p\ge \frac{\hslash }{2}$: Ort und Impuls sind nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmbar. Das ist kein Messfehler, sondern ein fundamentales Prinzip (Folge des Welle-Teilchen-Dualismus). (§9.6)
10. Ein gedachtes Wesen, das aus Ort und Impuls jedes Teilchens die ganze Zukunft berechnet → Determinismus. Widerlegt durch die Heisenberg-Unschärfe (Eingabedaten unbeschaffbar) und den Quantenzufall (z. B. radioaktiver Zerfall). (§9.8)
11. $\mathrm{\Delta }E=2,55$ eV $\approx 4,09\cdot {10}^{-19}$ J; $f=\mathrm{\Delta }E/h\approx 6,2\cdot {10}^{14}$ Hz; $\lambda =c_0/f\approx 490$ nm (sichtbares blaugrünes Licht). Ein rotes Photon hat nur $\approx 1,8$ eV $<E_A(\text{Zink})\approx 4,3$ eV — die Energie eines einzelnen Photons reicht nicht, und Photonen „legen nicht zusammen", deshalb hilft auch beliebig hohe Helligkeit nicht. (§9.2)
12. Eine negativ geladene Zinkplatte auf dem Elektroskop wird mit einer UV-Lampe bestrahlt → sie entlädt sich, der Zeiger fällt. Schiebt man eine Glasplatte dazwischen (absorbiert UV) → der Effekt stoppt: Beweis, dass der UV-Anteil verantwortlich ist. Bei positiver Ladung werden die herausgeschlagenen Elektronen von der positiven Ladung sofort zurückgezogen — keine Entladung. (§9.2)
13. Vollkommener Stillstand hieße $\mathrm{\Delta }x=0$ und $\mathrm{\Delta }p=0$ — das widerspricht $\mathrm{\Delta }x\cdot \mathrm{\Delta }p\ge \hslash /2$ → ein Mindestmaß an Bewegung, die Nullpunktsenergie, muss bleiben. Der Spiegel hat nennenswerte Masse, sein Gravitationsfeld ist also prinzipiell messbar; bringt man ihn in Superposition, lässt sich erstmals experimentell fragen, ob auch das Gravitationsfeld „in Superposition" ist bzw. ob die Gravitation quantisiert werden muss. (§9.5/§9.7)
14. Postulate (Bohr 1913): (1) Das Elektron bewegt sich strahlungsfrei nur auf diskreten Bahnen; (2) Energie wird nur beim Sprung zwischen Bahnen als ein Photon ausgetauscht ($\mathrm{\Delta }E=hf$). Die Hauptquantenzahl $n=1,2,3,\dots$ nummeriert die Bahnen ($n=1$ = Grundzustand). Sichtbar ist die Balmer-Serie ($n_1=2$). Bemerkenswert: Obwohl das Modell halbklassisch ist und nur für Wasserstoff gilt (später durch die Quantenmechanik ersetzt), berechnet es die Wasserstofflinien korrekt. (§9.2a)
15. $\frac{1}{\lambda }=R(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2})=\mathrm{1,097}\cdot {10}^7\cdot \frac{5}{36}\approx 1,52\cdot {10}^6{\mathrm{m}}^{-1}$ → $\lambda \approx 656$ nm — rotes Licht. (§9.2a)
16. $\lambda ={\displaystyle \frac{h}{mv}}$ (de-Broglie-Wellenlänge). Bewiesen durch das Davisson-Germer-Experiment (Elektronenbeugung am Nickel-Kristall, 1927). Die Schrödinger-Gleichung $i\hslash {\partial }_t\psi =\hat{H}\psi$ bestimmt die zeitliche Entwicklung von $\psi$ (Grundgleichung der QM). Die Born'sche Deutung: $|\psi {|}^2$ ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, mit der Normierung $\int |\psi {|}^2\mathrm{d}V=1$ (das Teilchen ist mit Sicherheit irgendwo). (§9.3a)
17. Tunneleffekt: Ein Teilchen durchdringt eine Barriere, die es klassisch nicht überwinden könnte, weil $\psi$ in der Barriere nicht sofort null wird (nur exponentiell abklingt) → endliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit dahinter. Anwendungen z. B. Alpha-Zerfall und Rastertunnelmikroskop (STM) (auch Tunneldiode). Im Potentialtopf muss $\psi$ an den Wänden null sein → nur bestimmte stehende Wellen passen hinein → diskrete Energieniveaus als Folge der Randbedingungen. (§9.3b)